Phys. Rev. Lett. 131.050601

Jiheng Duan, jiheng.duan@rochester.edu, 08/24/2023

Title

Approximate Autonomous Quantum Error Correction with Reinforcement Learning

Abstract

Approximate Autonomous Quantum Error Correction (AAQEC) 利用了人为制造的耗散二能级系统对任意qubit态$|\Psi_{\theta \phi}\rangle$进行自动QEC. 这篇文章里，用到了bosonic system去制造这样的code space（逻辑比特），并且使用一个auxiliary qubit作为人为制造的耗散二能级系统，来实现对code space的AAQEC。auxiliary qubit的引入实际上是引入了一个Lindblad operator $L_{eng}$, 它将逻辑比特的量子态从error space转回code space。这种AAQEC的protocol（code space）的设计优化用到了reinforcement learning (RL)，及在经典计算机下进行模拟，通过RL返回控制优化mean fidelity $\bar{F}(|0_L\rangle, |1_L\rangle)$ 以找到protocol所需的logic zero $|0_L\rangle$ and one $|1_L \rangle$ 的最优解。注意这里的$|0_L\rangle$ and $|1_L\rangle$ 是满足近似Knill-Laflamme (KL) conditions的（正文Eq.(2)上方的段落内）。这样的protocol对逻辑门的Hamiltonian distance的要求为$d_g = 2$,及需要couple $|n\rangle$ 和 $|n + 2\rangle$ 两个态来实现逻辑门操作。同时，此protocol对engineered Lindblad operator $L_{eng}$的Hamiltonian distance为$d=1$。比如，当$|0_L\rangle \approx |4\rangle$ and $|1_L\rangle \approx |2\rangle$, $L_{eng} \propto |2\rangle \langle 1| + |4\rangle \langle 3|$ (single photon loss). 对应的logical Pauli operator 为 $\sigma_x = |2\rangle \langle 4| + |4\rangle \langle 2 |$, $\sigma_y = i(|4\rangle \langle 2| - |2\rangle \langle 4 |)$, and $\sigma_z = |2\rangle \langle 2| - |4\rangle \langle 4 |$。

Code Space and dynamics

假设一个bosonic system和一个理想的auxiliary qubit couple在一起，bosonic system视为一个logical qubit，其logic zero and one 如下定义 $$ |0_L\rangle = \sum_{n=0}c_n^{(0)} |4n\rangle, \ |1_L\rangle = \sum_{n=0} c_n^{(1)} |4n+2\rangle, $$ where $c_n^{(0)}$ and $c_n^{(1)}$ 是real coefficients，满足$\sum_n|c_n^{(u)}|^2 =1$ $(u = 0,1)$。 qubit的single photon decay rate是$\gamma_b$, bosonic system的single photon loss rate 为$\gamma_a$。两个系统couple在一起，我们定义一个QEC jump operator，也就是我们之前提到的engineered Lindblad operator $$ L_{eng} = \sum_{|d_l|\le d} \sum_n \lambda_{nd_l} |n\rangle \langle n+ d_l |, $$ where $d_l$ 是Hamiltonian distance。我们的系统的时间演化由如下的master equation描述 $$ \frac{d \rho}{d t} = -i\left[ H_{eff}, \rho \right] + \frac{\gamma_a}{2}\mathcal{D}[a] + \frac{\gamma_b}{2}\mathcal{D}[\sigma_-], $$ where the effective Hamiltonian $H_{eff}= g(L_{eng}\sigma_+ + L_{eng}^\dagger \sigma_-)$, the superoperator $\mathcal{D}[ x] = 2x\rho x^\dagger - x^\dagger x \rho - \rho x^\dagger x$, and $\rho$ is the system’s density matrix. Notice that we assume $\gamma_a, g \ll \gamma_b$, and $\gamma_a \ll g$.

如此，我们可以assume一些系统动力学的演化路径。我们的初始态，也就是code space为$|\Psi_{\theta\phi},0\rangle$。 对于single photon loss 导致的error，我们有如下两种路径，在如下的图展示出来：

Optimization Code Space

通过RL，QUTIP在经典计算机下对$|0_L\rangle $ and $|1_L\rangle$ 中的系数$c_n^{(0)}$ and $c_n^{(1)}$进行优化，以让mean fidelity达到最小值。细节参考文章 Sec. Optimal code space.